Kinematics 2D Formulas for JEE Main & Advanced

Kinematics 2D Formula Sheet – JEE Main & Advanced

Kinematics–2D, Physics का महत्वपूर्ण chapter है, जिसमें दो dimensions में गति, Relative Motion, Swimmer’s Problem और Projectile Motion का अध्ययन किया जाता है। JEE Main और JEE Advanced में इस chapter के प्रश्नों को हल करने के लिए velocity के vector components, motion की direction और सही formula की conditions समझना जरूरी है।

इस Formula Sheet में chapter के मुख्य सूत्र, जरूरी concepts और quick-revision points दिए गए हैं। इसे revision के लिए इस्तेमाल करें और जिन formulas में कठिनाई हो, उन्हें अपनी विस्तृत notes और solved examples से दोहराएँ।

1. Relative Motion (सापेक्ष गति)

जब किसी वस्तु की गति को किसी दूसरे गतिमान या स्थिर reference frame के सापेक्ष देखा जाता है, तो इसे Relative Motion कहते हैं। उदाहरण के लिए, चलती हुई ट्रेन में बैठे यात्री की गति प्लेटफॉर्म के सापेक्ष और ट्रेन के सापेक्ष अलग दिखाई दे सकती है।

Relative Position

यदि A और B के position vectors क्रमशः r_A और r_B हैं, तो B के सापेक्ष A का relative position vector होगा:

r_AB = r_A − r_B

Relative Velocity Formula

Relative velocity, relative position के समय के साथ परिवर्तन की दर है:

v_AB = dr_AB/dt

इसलिए:

v_AB = v_A − v_B

इसी प्रकार:

v_BA = v_B − v_A = −v_AB

यहाँ:

• v_AB = B के सापेक्ष A का वेग।
• v_A = चुने गए reference frame में A का वेग।
• v_B = उसी reference frame में B का वेग।

ध्यान दें: Relative velocity निकालते समय दोनों velocities को एक ही reference frame में व्यक्त करना चाहिए। यह vector subtraction है, इसलिए direction महत्वपूर्ण है।

Relative Velocity in One Dimension

जब दो वस्तुएँ एक ही सीधी रेखा में चलती हैं, तब दिशा के अनुसार relative velocity का magnitude निकाला जा सकता है।

1. समान दिशा में गति (Parallel Motion)

यदि दोनों वस्तुएँ एक ही दिशा में चल रही हों, तो:

|v_AB| = |v_A − v_B|

2. विपरीत दिशा में गति (Antiparallel Motion)

यदि दोनों वस्तुएँ विपरीत दिशाओं में चल रही हों और उनकी speed के magnitudes v_A तथा v_B हों, तो:

|v_AB| = v_A + v_B

उदाहरण: दो वाहन एक ही दिशा में 60 km/h और 40 km/h से चल रहे हैं। उनके बीच relative speed 20 km/h होगी। यदि वे एक-दूसरे की ओर चल रहे हों, तो relative speed 100 km/h होगी।

2. Swimmer’s Problem (नदी पार करने की समस्या)

Swimmer’s Problem में तैराक या नाव को नदी के एक किनारे से दूसरे किनारे तक जाना होता है। नदी की धारा के कारण जमीन के सापेक्ष तैराक की velocity, स्थिर पानी में उसकी velocity से अलग होती है।

Velocity Addition Formula

v_S,G = v_S,W + v_W,G

जहाँ:

• v_S,G = जमीन के सापेक्ष तैराक का वेग।
• v_S,W = स्थिर पानी के सापेक्ष तैराक का वेग।
• v_W,G = जमीन के सापेक्ष नदी के पानी का वेग।

मान लें:

• V = स्थिर पानी में तैराक की speed।
• u = नदी की धारा की speed।
• d = नदी की चौड़ाई।
• θ = तैराक की दिशा और नदी के लंबवत दिशा के बीच upstream की ओर बनाया गया कोण।

2.1 नदी पार करने में लगने वाला समय

यदि तैराक नदी के लंबवत दिशा से θ कोण बनाकर तैरता है, तो नदी के पार उसकी velocity का component V cos θ होगा। इसलिए:

t = d/(V cos θ)

यह formula तब लागू होता है जब नदी के पार velocity component V cos θ हो और नदी की चौड़ाई d स्थिर हो।

2.2 न्यूनतम समय में नदी पार करना

नदी पार करने में न्यूनतम समय तब लगता है जब तैराक सीधे नदी के लंबवत दिशा में तैरता है, अर्थात θ = 0°।

t_min = d/V

इस स्थिति में धारा के कारण तैराक downstream दिशा में बह सकता है। इसलिए न्यूनतम समय में पार करना और ठीक सामने वाले बिंदु पर पहुँचना दो अलग-अलग परिस्थितियाँ हैं।

2.3 ठीक सामने वाले किनारे पर पहुँचना — No Drift

यदि तैराक को नदी के ठीक सामने वाले बिंदु पर पहुँचना है, तो उसका upstream velocity component नदी की धारा की speed के बराबर होना चाहिए। यह स्थिति केवल V > u होने पर संभव है।

V sin θ = u

इसलिए:

sin θ = u/V

θ = sin⁻¹(u/V)

इस स्थिति में नदी पार करने का समय:

t = d/(V cos θ) = d/√(V² − u²)

यह परिणाम V > u की शर्त पर लागू होता है। यदि V ≤ u हो, तो तैराक अपनी दिशा बदलकर धारा को पूरी तरह संतुलित करके सीधे सामने वाले बिंदु पर नहीं पहुँच सकता।

2.4 जब V > u हो: Direct Crossing

• नदी के ठीक सामने वाले बिंदु तक पहुँचना संभव है।
• धारा को संतुलित करने के लिए sin θ = u/V होना चाहिए।
• ठीक सामने पहुँचने का समय d/√(V² − u²) होगा।
• न्यूनतम समय d/V है, लेकिन इस स्थिति में drift हो सकता है।

2.5 जब V < u हो: Minimum Drift / Shortest Path

यदि नदी की धारा तैराक की speed से अधिक है, तो तैराक सीधे सामने वाले बिंदु तक पहुँचने के लिए धारा को पूरी तरह संतुलित नहीं कर सकता। इस स्थिति में minimum drift या shortest path की समस्या हल की जा सकती है।

Shortest path के लिए, दिए गए setup में:

sin θ = V/u

अर्थात:

θ = sin⁻¹(V/u)

समय:

t = d/(V cos θ) = du/√(u² − V²)

यह formula V < u की शर्त पर shortest-path स्थिति के लिए है। θ को नदी के लंबवत दिशा से upstream की ओर मापा गया है।

3. Projectile Motion (प्रक्षेप्य गति)

जब किसी वस्तु को प्रारंभिक वेग देकर हवा में छोड़ा जाता है और उसके बाद उस पर केवल गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव माना जाता है, तो उसकी गति Projectile Motion कहलाती है। सामान्य सूत्रों में वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज किया जाता है और g को स्थिर माना जाता है।

मान लें:

• u = प्रारंभिक वेग।
• θ = horizontal से projection angle।
• g = गुरुत्वीय त्वरण का magnitude।
• x और y = प्रारंभिक बिंदु से horizontal तथा vertical displacement।

3.1 Initial Velocity Components

u_x = u cos θ

u_y = u sin θ

3.2 Acceleration Components

वायु प्रतिरोध न होने पर horizontal acceleration शून्य और vertical acceleration नीचे की ओर g होता है:

a_x = 0

a_y = −g

3.3 Velocity After Time t

v_x = u cos θ

v_y = u sin θ − gt

कुल speed:

v = √(v_x² + v_y²)

अर्थात:

v = √[(u cos θ)² + (u sin θ − gt)²]

Velocity की दिशा horizontal से α कोण बनाती है, जहाँ:

tan α = v_y/v_x

इसलिए:

α = tan⁻¹[(u sin θ − gt)/(u cos θ)]

3.4 Position After Time t

Horizontal displacement:

x = u cos θ · t

Vertical displacement:

y = u sin θ · t − ½gt²

3.5 Equation of Trajectory

Horizontal equation से:

t = x/(u cos θ)

इसे vertical equation में रखने पर:

y = x tan θ − gx²/(2u² cos² θ)

यह projectile की trajectory का equation है। इस ideal model में trajectory parabola होती है।

3.6 Time of Flight

यदि projectile उसी vertical level पर वापस आता है जहाँ से उसे छोड़ा गया था, तो total time of flight:

T = 2u sin θ/g

यह formula समान launch और landing height की शर्त पर लागू होता है। यदि landing height अलग है, तो vertical displacement equation से time निकालना चाहिए।

3.7 Horizontal Range

समान launch और landing height पर horizontal range:

R = u cos θ × T

इसलिए:

R = u² sin 2θ/g

यहाँ θ horizontal से projection angle है।

3.8 Maximum Range

जब launch और landing height समान हों और वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज किया जाए, तो maximum range θ = 45° पर प्राप्त होती है।

R_max = u²/g

एक ही initial speed के लिए complementary angles θ और (90° − θ) पर range समान होती है, क्योंकि दोनों के लिए sin 2θ का मान समान होता है।

3.9 Maximum Height

Highest point पर vertical velocity शून्य होती है:

v_y = 0

Maximum height:

H = u² sin² θ/(2g)

या:

H = u_y²/(2g)

Highest point पर horizontal velocity u cos θ बनी रहती है, जबकि vertical velocity शून्य होती है।

3.10 Time of Ascent and Descent

समान launch और landing height के लिए:

Time of ascent = u sin θ/g

Time of descent = u sin θ/g

इसलिए total time of flight:

T = 2u sin θ/g

3.11 Projectile Velocity Initial Velocity के Perpendicular कब होती है?

जब initial velocity vector और time t पर velocity vector का dot product शून्य हो:

u⃗ · v⃗ = 0

इससे, non-zero projection angle के लिए:

t = u/(g sin θ)

यह परिणाम ideal projectile motion के लिए है और θ = 0° होने पर इस रूप में लागू नहीं होता।

4. Projectile Motion on an Inclined Plane

जब projectile किसी inclined plane के ऊपर या नीचे की दिशा में जाता है, तो range और time of flight के सूत्र horizontal ground वाले सूत्रों से अलग हो सकते हैं। यहाँ α को plane का horizontal से angle और θ को plane की दिशा से ऊपर की ओर projection angle माना गया है।

4.1 Projectile Up an Inclined Plane

Inclined plane के ऊपर की ओर projection के लिए, plane के साथ तथा plane के लंबवत axes लेने पर acceleration components होते हैं:

a_x = −g sin α

a_y = −g cos α

यदि projectile plane पर ही वापस आता है, तो time of flight:

T = 2u sin θ/(g cos α)

Range along the inclined plane:

R = [2u² sin θ cos(θ + α)]/(g cos² α)

Equivalent form:

R = u²[sin(2θ + α) − sin α]/(g cos² α)

Maximum range के लिए:

θ = 45° − α/2

Maximum range:

R_max = u²/[g(1 + sin α)]

ये सूत्र ideal projectile motion और inclined plane पर ही landing की स्थिति के लिए हैं।

4.2 Projectile Down an Inclined Plane

Downward inclined plane की दिशा में projectile motion के लिए, θ को plane की ऊपर की दिशा से मापा गया acute projection angle मानने पर, PDF में दिया गया range relation है:

R = 2u² sin θ cos(θ − α)/(g cos² α)

Time of flight:

T = 2u sin θ/(g cos α)

Maximum range:

R_max = u²(1 + sin α)/(g cos² α)

Equivalent form:

R_max = u²/[g(1 − sin α)]

यह result उस configuration के लिए है जिसमें projectile नीचे की ओर inclined plane को काटता है। Angle की definition और diagram के अनुसार formula में angle conventions बदल सकती हैं, इसलिए प्रश्न के diagram से θ और α की directions स्पष्ट करें।

5. JEE Quick Revision Table

Topic	Important Formula	Condition / Reminder
Relative velocity	vAB = vA − vB	Vector relation
Parallel motion	|vAB| = |vA − vB|	Same direction
Antiparallel motion	|vAB| = vA + vB	Opposite directions
River crossing time	t = d/(V cos θ)	θ measured from perpendicular
Minimum crossing time	tmin = d/V	θ = 0°; drift may occur
No drift	sin θ = u/V	Requires V > u
Projectile horizontal velocity	vx = u cos θ	Constant when air resistance is ignored
Projectile vertical velocity	vy = u sin θ − gt	Upward positive
Time of flight	T = 2u sin θ/g	Same launch and landing height
Range	R = u² sin 2θ/g	Same launch and landing height
Maximum height	H = u² sin² θ/(2g)	Vertical rise from launch point
Maximum range	Rmax = u²/g	θ = 45°, level ground

6. Important Points for JEE Main & Advanced

• Relative velocity हमेशा vector subtraction से निकाली जाती है।
• एक dimension में direction के संकेतों को सही रखना जरूरी है।
• नदी पार करने में समय, नदी के पार velocity component पर निर्भर करता है।
• Minimum time में नदी पार करने पर सामान्यतः drift शून्य नहीं होता।
• ठीक सामने वाले बिंदु पर पहुँचने की शर्त V > u है।
• Projectile motion में horizontal acceleration शून्य और vertical acceleration −g होती है, यदि upward direction positive हो।
• Range और time of flight के सामान्य सूत्र समान launch और landing height पर लागू होते हैं।
• Inclined plane के प्रश्नों में axes और angles की definition स्पष्ट करें।
• किसी formula को याद करने के साथ उसकी conditions of validity भी याद रखें।

Conclusion

Kinematics–2D में Relative Motion, Swimmer’s Problem और Projectile Motion के सूत्रों का सही उपयोग तभी संभव है जब velocity components, directions और reference frame स्पष्ट हों। इस Formula Sheet को revision checklist की तरह इस्तेमाल करें, फिर प्रत्येक topic के numerical questions हल करके अपनी तैयारी जाँचें।

ExamKosh – Study, Practice, Succeed.