Units and Measurements Formulas in Hindi | JEE Formula Sheet

Units and Measurements Formula Sheet – JEE Main & Advanced

Units and Measurements, JEE Physics का एक महत्वपूर्ण शुरुआती अध्याय है। इसमें SI units, unit conversions, dimensional formulas, dimensional analysis, errors in measurement, least count और significant figures जैसे विषय शामिल हैं। इन concepts का उपयोग Physics के कई अन्य chapters में भी होता है।

यह chapter-wise formula sheet JEE Main और JEE Advanced की quick revision के लिए बनाई गई है। हर formula के साथ आवश्यक शर्तें और सामान्य गलतियों पर ध्यान दिया गया है। इसे अपनी तैयारी के अंतिम चरण में recall check के रूप में इस्तेमाल करें। यदि कोई सूत्र नया लगे, तो उसे केवल याद करने के बजाय अपनी विस्तृत notes और derivation से समझें।

1. SI Base Units

International System of Units (SI) में सात base quantities और उनकी निर्धारित base units हैं। दूसरी कई भौतिक राशियों की units इन्हीं से बनाई जाती हैं।

Physical Quantity	SI Base Unit	Symbol
Length	metre	m
Mass	kilogram	kg
Time	second	s
Electric current	ampere	A
Thermodynamic temperature	kelvin	K
Amount of substance	mole	mol
Luminous intensity	candela	cd

Important facts:

• एक mole में ठीक 6.02214076 × 10²³ elementary entities होती हैं।
• एक second की SI परिभाषा caesium-133 atom की निर्धारित transition frequency पर आधारित है।
• SI में mass की base unit kilogram है, gram नहीं।

2. SI Prefixes

बहुत बड़ी या बहुत छोटी राशियों को आसानी से लिखने के लिए SI prefixes का इस्तेमाल किया जाता है।

Prefix	Symbol	Factor	Prefix	Symbol	Factor
tera	T	1012	deci	d	10−1
giga	G	109	centi	c	10−2
mega	M	106	milli	m	10−3
kilo	k	103	micro	μ	10−6
hecto	h	102	nano	n	10−9
deca	da	101	pico	p	10−12
—			femto	f	10−15

Prefix से जुड़ी महत्वपूर्ण गलती

जब किसी prefixed unit को power में उठाया जाता है, तो prefix पर भी वही power लागू होती है।

उदाहरण:

1 cm = 10⁻² m

1 cm³ = (10⁻² m)³ = 10⁻⁶ m³

इसलिए 1 cm³ को 10⁻² m³ लिखना गलत है।

3. Important Non-SI Units and Conversions

Quantity	Unit	SI Equivalent
Length	1 angstrom (Å)	10−10 m
Length	1 light-year	लगभग 9.46 × 1015 m
Length	1 parsec	लगभग 3.086 × 1016 m
Mass	1 atomic mass unit (u)	लगभग 1.66 × 10−27 kg
Time	1 year	लगभग 3.156 × 107 s
Energy	1 electron volt (eV)	लगभग 1.602 × 10−19 J
Energy	1 calorie (cal)	लगभग 4.186 J
Energy	1 kWh	3.6 × 106 J
Pressure	1 atmosphere (atm)	लगभग 1.013 × 105 Pa
Pressure	1 bar	105 Pa
Power	1 horsepower (mechanical)	लगभग 746 W
Force	1 dyne	10−5 N

Frequently Used Conversions

• km/h से m/s: 5/18 से गुणा करें।
• m/s से km/h: 18/5 से गुणा करें।
• 1 litre = 10⁻³ m³
• 1 cm³ = 10⁻⁶ m³
• 1 m³ = 1000 litres

4. Dimensional Formulas

Dimensional formula किसी भौतिक राशि को मूल dimensions के रूप में व्यक्त करता है। सामान्य यांत्रिकी में mass [M], length [L] और time [T] सबसे अधिक उपयोग होते हैं। अन्य विषयों में electric current [I] और temperature [Θ] भी शामिल होते हैं।

4.1 Mechanics

Quantity	Dimensional Formula
Area	[L2]
Volume	[L3]
Density	[ML−3]
Velocity	[LT−1]
Acceleration	[LT−2]
Momentum	[MLT−1]
Impulse	[MLT−1]
Force / Weight	[MLT−2]
Work / Energy	[ML2T−2]
Torque	[ML2T−2]
Power	[ML2T−3]
Pressure / Stress	[ML−1T−2]
Frequency	[T−1]
Angular velocity	[T−1]
Angular acceleration	[T−2]
Moment of inertia	[ML2]
Angular momentum	[ML2T−1]
Surface tension	[MT−2]
Spring constant	[MT−2]
Dynamic viscosity	[ML−1T−1]

4.2 Thermal Physics

Quantity	Dimensional Formula
Heat / Energy	[ML2T−2]
Specific heat capacity	[L2T−2Θ−1]
Specific latent heat	[L2T−2]
Thermal conductivity	[MLT−3Θ−1]
Stefan–Boltzmann constant	[MT−3Θ−4]
Boltzmann constant	[ML2T−2Θ−1]
Molar gas constant R	[ML2T−2Θ−1mol−1]

4.3 Electricity and Magnetism

Quantity	Dimensional Formula
Electric charge	[IT]
Voltage / EMF	[ML2T−3I−1]
Resistance	[ML2T−3I−2]
Capacitance	[M−1L−2T4I2]
Electric field	[MLT−3I−1]
Magnetic field B	[MT−2I−1]
Magnetic flux	[ML2T−2I−1]
Inductance	[ML2T−2I−2]
Permittivity ε₀	[M−1L−3T4I2]
Permeability μ₀	[MLT−2I−2]

4.4 Constants and Modern Physics

Quantity	Dimensional Formula
Gravitational constant G	[M−1L3T−2]
Planck constant h	[ML2T−1]
Work function	[ML2T−2]
Radioactive decay constant	[T−1]
Half-life	[T]
Avogadro constant	[mol−1]

Dimensionless Quantities

जिन राशियों में dimensions नहीं होते, उनका dimensional formula [M⁰L⁰T⁰] या [1] होता है। उदाहरण:

• Strain
• Plane angle (radian)
• Refractive index
• Coefficient of friction
• Relative density
• Poisson's ratio
• Reynolds number

ध्यान दें: किसी quantity का dimensionless होना यह नहीं बताता कि उसका संख्यात्मक मान हमेशा 1 होगा।

5. Dimensional Analysis

Principle of Homogeneity

यदि किसी सही भौतिक समीकरण में A = B + C है, तो जोड़ या घटाव में शामिल सभी terms के dimensions समान होने चाहिए:

[A] = [B] = [C]

उदाहरण के लिए, s = ut + ½at² में प्रत्येक term का dimension length होना चाहिए।

Dimensionless Arguments

sin, cos, tan, log और exponential functions के arguments dimensionless होने चाहिए। उदाहरण के लिए sin(ωt) में ωt dimensionless है, क्योंकि angular frequency ω का dimension [T⁻¹] और time t का dimension [T] है।

Power-Law Method

यदि किसी quantity Q का संबंध A, B और C से इस रूप में माना जाए:

Q = kA^aB^bC^c

तो प्रत्येक quantity का dimensional formula लिखें, फिर दोनों पक्षों में M, L और T की powers बराबर करके अज्ञात exponents a, b और c ज्ञात करें।

Unit Conversion Formula

यदि किसी quantity का dimensional formula [M^aL^bT^c] है, और पुराने तथा नए unit systems के base units क्रमशः M₁, L₁, T₁ तथा M₂, L₂, T₂ हैं, तो numerical values का संबंध है:

n₂ = n₁ (M₁/M₂)^a (L₁/L₂)^b (T₁/T₂)^c

यहाँ n₁ और n₂ एक ही physical quantity के numerical values हैं। सभी base units को एक ही system के अनुसार रखना आवश्यक है।

Dimensional Analysis से मिलने वाले परिणाम

Situation	Relation	Condition
Simple pendulum	T = k√(l/g)	Small oscillations के लिए period का रूप; ideal simple pendulum में k = 2π
Sound speed in a gas	v = k√(P/ρ)	किसी दिए गए gas model में; ideal gas के लिए k का संबंध specific heat ratio से होता है
Gravity waves at a water surface	v = k√(gλ)	Deep-water gravity waves में; k = 1/√(2π) for phase speed
Stokes' viscous drag	F = 6πηrv	छोटे spherical body के लिए, low Reynolds number और creeping flow में
Centripetal force	F = mv²/r	Circular motion में radial net force का magnitude
Liquid drop oscillation	T = k√(ρr³/S)	छोटी oscillations; k mode और model पर निर्भर करता है

महत्वपूर्ण: Dimensional analysis सामान्यतः dimensionless numerical constants, जैसे 2π, निर्धारित नहीं कर सकता। इसलिए k का सटीक मान निकालने के लिए अक्सर theory या experiment की आवश्यकता होती है।

Dimensional Analysis की सीमाएँ

• यह 2, π या अन्य dimensionless constants का सटीक मान नहीं बता सकता।
• यह समान dimensions वाली अलग-अलग राशियों में अंतर नहीं बता सकता, जैसे work और torque।
• यह जोड़ या घटाव वाले समीकरण के सभी terms का सटीक functional form नहीं निकाल सकता।
• केवल dimensions से यह तय करना हमेशा संभव नहीं कि कोई quantity numerator में होगी या denominator में।
• यह किसी समीकरण की dimensional consistency जाँचता है, लेकिन हर dimensionally correct equation सही भौतिक समीकरण हो, यह जरूरी नहीं।

6. Errors in Measurement

Mean Value

यदि किसी quantity की n readings a₁, a₂, ..., aₙ हों, तो arithmetic mean:

ā = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n

iवीं reading का absolute deviation:

Δaᵢ = |aᵢ − ā|

Mean absolute error:

Δa_mean = (Δa₁ + Δa₂ + ... + Δaₙ)/n

इस प्रकार परिणाम को सामान्य रूप में लिखा जा सकता है:

a = ā ± Δa_mean

यह विधि repeated readings के mean absolute deviation को दर्शाती है। प्रयोग के प्रकार के अनुसार uncertainty का आकलन करने के अन्य तरीके भी हो सकते हैं।

Relative Error and Percentage Error

Relative error = Δa/|a|

Percentage error = (Δa/|a|) × 100%

यहाँ Δa absolute uncertainty है और a मापी गई quantity का मान है। Relative error निकालते समय denominator शून्य नहीं होना चाहिए।

Error Propagation

Operation	Relation	Maximum absolute / relative uncertainty rule
Addition	Z = A + B	ΔZ = ΔA + ΔB
Subtraction	Z = A − B	ΔZ = ΔA + ΔB
Multiplication	Z = AB	ΔZ/|Z| ≈ ΔA/|A| + ΔB/|B|
Division	Z = A/B	ΔZ/|Z| ≈ ΔA/|A| + ΔB/|B|
Power	Z = Aⁿ	ΔZ/|Z| ≈ |n| ΔA/|A|
Constant multiple	Z = kA	ΔZ = |k| ΔA

यदि Z = A^aB^bC^c हो, तो छोटे स्वतंत्र uncertainties के लिए maximum fractional uncertainty का अनुमान:

ΔZ/|Z| ≈ |a|ΔA/|A| + |b|ΔB/|B| + |c|ΔC/|C|

यह JEE में प्रयुक्त सामान्य maximum-error rule है। Independent random uncertainties के statistical combination में नियम अलग हो सकता है।

Quick recall:

• जोड़ और घटाव: absolute errors जोड़ें।
• गुणा और भाग: fractional errors जोड़ें।
• Power: fractional error को power के absolute value से गुणा करें।
• Subtraction में भी maximum absolute errors घटाए नहीं जाते।

7. Least Count and Instrumental Error

Least count किसी measuring instrument की सबसे छोटी सीधे पढ़ी जा सकने वाली माप-वृद्धि है। यह instrument की resolution बताता है, लेकिन वास्तविक uncertainty हमेशा केवल least count के बराबर हो, यह जरूरी नहीं।

Vernier Calipers

यदि 1 main scale division और 1 vernier scale division के बीच का अंतर उपयोग किया जाता है, तो direct vernier के लिए:

Least Count = 1 MSD − 1 VSD

सरल direct-vernier व्यवस्था में, यदि n vernier divisions की लंबाई (n − 1) main scale divisions के बराबर हो, तो:

LC = 1 MSD/n

Screw Gauge

Least Count = Pitch / Circular Scale Divisions की संख्या

यहाँ pitch वह दूरी है जो screw एक पूर्ण rotation में आगे बढ़ता है।

Common Instrument Resolutions

Instrument	Typical Least Count / Resolution
Meter scale	1 mm = 0.1 cm
Vernier calipers	उदाहरण: 0.01 cm = 0.1 mm
Screw gauge	उदाहरण: 0.001 cm = 0.01 mm
Digital stopwatch	उदाहरण: 0.01 s

Least count instrument के design पर निर्भर करती है। ऊपर दिए गए मान सामान्य उदाहरण हैं, हर instrument के लिए सार्वभौमिक मान नहीं।

Accuracy and Precision

• Accuracy: माप का वास्तविक या accepted value के कितना करीब होना।
• Precision: बार-बार किए गए मापों का एक-दूसरे के कितना करीब होना।

Calibration systematic errors कम करने में मदद कर सकती है। Repeated measurements और averaging कुछ random errors के प्रभाव को कम कर सकते हैं।

8. Significant Figures

Significant figures वे अंक हैं जो किसी माप की precision को व्यक्त करने में योगदान देते हैं।

Counting Rules

Digit Type	Rule
Non-zero digits	हमेशा significant होते हैं।
Captive zeros	दो non-zero digits के बीच के zero significant होते हैं।
Leading zeros	Significant नहीं होते।
Trailing zeros	Decimal notation में उनकी स्थिति के अनुसार significant हो सकते हैं।
Exact counts and defined values	उनमें measurement uncertainty नहीं होती; वे significant figures को सीमित नहीं करते।

उदाहरण:

• 0.0045 में 2 significant figures हैं।
• 4.50 × 10³ में 3 significant figures हैं।
• 4500 में significant figures की संख्या notation के बिना अस्पष्ट हो सकती है।

Significant Figures in Calculations

Operation	Rule
Addition / Subtraction	अंतिम परिणाम में सबसे कम decimal places के अनुसार rounding करें।
Multiplication / Division	अंतिम परिणाम में सबसे कम significant figures के अनुसार rounding करें।
Powers / Roots	सामान्य measurement problems में परिणाम की precision को input measurement के significant figures के अनुरूप रखें।

Rounding and Exam Traps

• Intermediate calculations में एक या अधिक extra digits रखें और अंत में rounding करें।
• Scientific notation से significant figures स्पष्ट लिखे जा सकते हैं।
• Exact counting numbers और परिभाषा से निर्धारित constants measurement precision को सीमित नहीं करते।
• जब rounding digit ठीक 5 हो और उसके बाद कोई non-zero digit न हो, तो अलग-अलग rounding conventions हो सकती हैं। प्रश्न में convention दी हो तो उसी का पालन करें।

9. JEE Quick Revision: Most Important Checks

• क्या सभी terms के dimensions समान हैं?
• क्या trigonometric और logarithmic functions के arguments dimensionless हैं?
• क्या unit prefix पर power सही ढंग से लागू की गई है?
• क्या unit conversion में numerical value का अनुपात उलटा तो नहीं लिया गया?
• क्या subtraction में absolute errors को जोड़ना याद रखा गया है?
• क्या multiplication और division में fractional errors जोड़े गए हैं?
• क्या significant figures और decimal places के नियमों में अंतर समझा गया है?
• क्या formula की validity conditions लागू होती हैं?

Conclusion

Units and Measurements के सूत्र JEE Physics की कई समस्याओं का आधार हैं। SI units और conversions संख्यात्मक गलतियों को कम करते हैं, dimensional analysis समीकरणों की consistency जाँचने में मदद करता है, जबकि error propagation और significant figures मापों की precision समझने के लिए जरूरी हैं।

इस Formula Sheet को revision checklist की तरह उपयोग करें। जिन सूत्रों या नियमों को याद करने में कठिनाई हो, उन्हें अपने विस्तृत notes से दोहराएँ और फिर JEE Main तथा Advanced के प्रश्नों में लागू करके अभ्यास करें।

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